Question

【題目】如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC1上，F為BB1的中點(diǎn)，且FD⊥AC1，有下述結(jié)論：

①AC1⊥BC；

②＝1；

③平面FAC1⊥平面ACC1A1；

④三棱錐D－ACF的體積為.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(　　)

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】BC⊥CC1，但BC不垂直于AC，故BC不垂直于平面ACC1A1，所以AC1與BC不垂直，故①錯(cuò)誤；

連接AF，C1F，可得AF＝C1F＝.

因?yàn)?/span>FD⊥AC1，所以可得D為線段AC1的中點(diǎn)，故②正確；

取AC的中點(diǎn)為H，連接BH，DH，

因?yàn)樵撊�棱柱是正三棱柱，所�?/span>CC1⊥底面ABC，

因?yàn)?/span>BH底面ABC，所以CC1⊥BH，

因?yàn)榈酌?/span>ABC為正三角形，可得BH⊥AC，

又AC∩CC1＝C，所以BH⊥側(cè)面ACC1A1.

因?yàn)?/span>D和H分別為AC1，AC的中點(diǎn)，所以DH∥CC1∥BF，

DH＝BF＝CC1，可得四邊形BFDH為平行四邊形，所以FD∥BH，

所以可得FD⊥平面ACC1A1，因?yàn)?/span>FD平面FAC1，

所以平面FAC1⊥平面ACC1A1，故③正確；

VD－ACF＝VF－ADC＝·FD·S△ACD＝，故④正確．

即正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3個(gè).

本題選擇C選項(xiàng).