Question

【題目】已知函數(shù),．

(1)求函數(shù)的極值；

(2)對(duì),不等式都成立,求整數(shù)k的最大值；

Answer 1

【答案】(1)極小值為無(wú)極大值；(2)3.

【解析】

求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后求解函數(shù)的極值，

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立,令,,再求導(dǎo), 分類討論,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值,即可求出k的值．

解：,，

，

當(dāng)時(shí),，函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),，函數(shù)單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),取得極小值,極小值為無(wú)極大值．

，,不等式都成立,

在上恒成立,

即在上恒成立,

令,,

,

當(dāng)時(shí),即時(shí),在上恒成立,

在上單調(diào)遞增,

,

,此時(shí)整數(shù)k的最大值為2,

當(dāng)時(shí),令,解得,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,

,

由,

令,

在上恒成立,

在上單調(diào)遞減,

又，,

存在使得,

故此時(shí)整數(shù)k的最大值為3,

綜上所述整數(shù)k的最大值3．