Question

【題目】已知函數(shù)，其中為大于零的常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

（3）求證：對(duì)于任意的時(shí)，都有成立．

Answer 1

【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

（2）①當(dāng)時(shí)，，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，；

（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和；（2）研究閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最小值；（3）由（1）知函數(shù)在上為增函數(shù)，構(gòu)造與的遞推關(guān)系，可利用疊加法求出所需結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，由；由，

∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為．

（2）由，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，這是上為增函數(shù)，；

當(dāng)在上恒成立，遞減，，

當(dāng)時(shí)，令，得，由；

所以在上遞減，在上遞增，有，

綜上，在上的最小值為：①當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；

（3）由（1）知函數(shù)在為遞增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，有對(duì)恒成立，

所以

，所以，對(duì)時(shí)，都有成立．