Question

【題目】如圖所示，已知多面體PABCDE的底面ABCD是邊長為2的菱形，底面ABCD，，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若，求多面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）通過證明平面PAC，得證面面垂直；

（2）對幾何體切割，根據求解體積.

（1）證明：連接BD，交AC于點O，設PC的中點為F，

連接OF，EF，如答圖所示.

∵O，F分別為AC，PC的中點，

∴，且，

∵，且，

∴，且，

∴四邊形OFED為平行四邊形，

∴，即.

∵平面ABCD，平面ABCD，∴.

∵四邊形ABCD是菱形，∴.

∵，∴平面PAC.

∵，∴平面PAC.

∴面PCE，∴平面平面PCE.

（2），所以三角形ABC，三角形ACD均為等邊三角形，

底面ABCD，

底面ABCD，底面APD，所以平面底面ABCD，

所以C到平面APD的距離為

所以多面體的體積.