Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足an=2Sn﹣1（n∈N*） （Ⅰ）求證：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若bn=（2n+1）an ， 求{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿(mǎn)足an=2Sn﹣1（n∈N*）， 當(dāng)n=1時(shí)，a1=2S1﹣1=2a1﹣1，解得a1=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，由an=2Sn﹣1，①，得an﹣1=2Sn﹣1﹣1，②，
①﹣②，得：an﹣an﹣1=2an ， 整理，得an=﹣an﹣1 ，
∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為﹣1的等比數(shù)列．
解：（Ⅱ）∵{an}是首項(xiàng)為1，公比為﹣1的等比數(shù)列，
∴ ，
∴bn=（2n+1）an=（2n+1）（﹣1）n﹣1 ，
∴{bn}的前n項(xiàng)和：
Tn=3（﹣1）0+5（﹣1）+7（﹣1）2+…+（2n+1）（﹣1）n﹣1 ， ①
﹣Tn=3（﹣1）+5（﹣1）2+7（﹣1）3+…+（2n+1）（﹣1）n ， ②
①﹣②，得：2Tn=3+2[（﹣1）+（﹣1）2+（﹣1）3+…+（﹣1）n﹣1]﹣（2n+1）（﹣1）n
=3+2× ﹣（2n﹣1）（﹣1）n
=（2n+2）（﹣1）n﹣1+2，
∴Tn=（n+1）（﹣1）n﹣1+1=1﹣（n+1）（﹣1）n
【解析】（Ⅰ）an=2Sn﹣1（n∈N*），推導(dǎo)出a1=1，an=﹣an﹣1 ， 由此能證明{an}是首項(xiàng)為1，公比為﹣1的等比數(shù)列．（Ⅱ）由 ，得bn=（2n+1）an=（2n+1）（﹣1）n﹣1 ， 由此利用錯(cuò)位相減法能求出{bn}的前n項(xiàng)和．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解，了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．