Question

3．已知在△ABC中，角A，B，C對邊分別是a，b，c，若B為鈍角，且$\frac{1}{sinA}+\frac{1}{cosA}=2\sqrt{2}$．
（Ⅰ） 求角A；
（Ⅱ） 若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，且$a=\sqrt{5}$，求b和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式去分母整理后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)A為銳角求出A的度數(shù)即可；
（Ⅱ）已知等式利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡，整理得到關(guān)系式，再利用余弦定理列出關(guān)系式，聯(lián)立求出b與c的值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{1}{sinA}$+$\frac{1}{cosA}$=2$\sqrt{2}$，
∴sinA+cosA=2$\sqrt{2}$sinAcosA，
∴$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin2A，即sin（A+$\frac{π}{4}$）=sin2A，
∵A為銳角，∴A=$\frac{π}{4}$；
（Ⅱ）由題意可得：$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$bccosA=3，
∴bc=3$\sqrt{2}$①，
由余弦定理可得：b²+c²-2bccosA=5，
∴b²+c²=11②，
聯(lián)立①②，解得：$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ c=\sqrt{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}c=3\\ b=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
∵B為鈍角，
∴b＞c，
則b=3，c=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．