Question

16．已知冪函數(shù)f（x）=x^3m-9（m∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，求滿足（a+1）^-m＜（3-2a）^-m的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合已知條件求出m=1，從而得到（a+1）^-1＜（3-2a）^-1，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵冪函數(shù)f（x）=x^3m-9（m∈N^*）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴3m-9＜0，解得m＜3，
∵m∈N^*，∴m=1或m=2，
∵函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，∴3m-9是偶數(shù)，∴m=1，
∵（a+1）^-m＜（3-2a）^-m，∴（a+1）^-1＜（3-2a）^-1，
∴a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a或a+1＜0＜3-2a，
解得$\frac{2}{3}＜a＜\frac{3}{2}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的合理運用．