Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-lnx，a∈R⁺．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為1，求a的值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a代入函數(shù)通過討論求出即可，（Ⅱ）先求出函數(shù)的單調區(qū)間，再通過討論a的范圍將a 求出即可．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=

1

2

x²-lnx，
∴f′（x）=x-

1

x

=

x2-1

x

，
∴x²-1＞0即x＞1時：f′（x）＞0，
x²-1＜0即0＜x＜1時：f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．
（Ⅱ）f′（x）=ax-

1

x

=

ax2-1

x

，
∵a是正數(shù)，令f′（x）=0，解得：x=

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）遞減，在（

1

a

，+∞）遞增，
①當0＜

1

a

≤1，即a≥1時：
函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為：
f（1）=

1

2

a-ln1=1，解得：a=2，
②當1＜

1

a

＜e，即：

1

e2

＜a＜1時：
函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為：
f（

1

a

）=

1

2

•a•

1

a

-ln

1

a

=1，解得：a=e（舍），
③當

1

a

≥e，即：0＜a≤

1

e2

時：
函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最小值為：
f（e）=

1

2

•a•e²-lne=1，解得：a=

4

e2

（舍），
綜合以上得：a=2．

點評：本題考察了導數(shù)的應用，函數(shù)的單調性，滲透了分類討論思想，是一道中檔題．