Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）用表示中的最大值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；(2) 當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（1）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，即可由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)的定義，利用導(dǎo)數(shù)分區(qū)間討論在上的零點(diǎn)分布情況.

（1），故可得，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，解得，

故容易得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）①當(dāng)時(shí)，，，

顯然此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，，

若，，故是的零點(diǎn)；

若，，故不是的零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

即為在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，等價(jià)于在上實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).

令，故可得，

故容易得在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

且.

故當(dāng)或時(shí)，在沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)或，在有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在有個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn).