【題目】已知函數(shù)
，其中
.
（1）若曲線
在點
處的切線與直線
平行，求
與
滿足的關(guān)系；
（2）當
時，討論
的單調(diào)性；
（3）當
時，對任意的
，總有
成立，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）①當
時，
在
上單調(diào)遞增；②當
時，在
和
上單調(diào)遞增；在
上單調(diào)遞減；當
時，函數(shù)在
和
上單調(diào)遞增；在
上單調(diào)遞減；（3）
.
【解析】
（1）求出
，由函數(shù)在點
處的切線與
平行，得
，從而可得結(jié)果；（2）求出，分三種情況討論
的范圍，在定義域內(nèi)，分別令
求得
的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，
求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）當
時，
，
對任意的
恒成立等價于
在恒成立. 設(shè)
，兩次求導，可得
，從而可得結(jié)果.
（1）由題意，得
.
由函數(shù)在點處的切線與平行，得.
即.
（2）當
時，
，
由
知
.
①當時，
，
在恒成立，
函數(shù)在上單調(diào)遞增.
②當
時，由，解得
或
；
由，解得
.
函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
③當時，，解得
或
；
由，解得
.
函數(shù)在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.
（3）當時，，
由，得
對任意的恒成立.
，
，
在
恒成立.
設(shè)，則
，
令
，則
，
由
，解得
.
由
，解得
；
由
，解得
.
導函數(shù)
在區(qū)間
單增；在區(qū)間
單減，
，
在上單調(diào)遞減，
，
.
故所求實數(shù)
的取值范圍.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（1）若函數(shù)
與
的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，求實數(shù)
的取值范圍；
（2）設(shè)
，已知
在
上存在兩個極值點
，且
，求證：
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=
，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點．
（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PD∥平面EAC，求三棱錐P-EAD的體積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
滿足
，
，其前n項和
，則下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①數(shù)列
是等差數(shù)列；②
；③
.
A.0B.1C.2D.3
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（a，b為常數(shù)），
（1）當
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）在（1）的條件下，
有兩個不相等的實根，求b的取值范圍；
（3）若對任意的
，不等式
在
上恒成立，求b的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）求函數(shù)
在
處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意的
，
恒成立，求
的取值范圍；
（Ⅲ）當
時，設(shè)函數(shù)
.證明：對于任意的
，函數(shù)
有且只有一個零點.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：極坐標與參數(shù)方程
在平面直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）．
（1）求曲線
的普通方程；
（2）經(jīng)過點
（平面直角坐標系
中點）作直線
交曲線
于
， 
兩點，若
恰好為線段
的三等分點，求直線
的斜率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點．
（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅲ）當三棱錐C﹣PBD的體積等于 
時，求PA的長．
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