Question

3．△ABC中，向量$\overrightarrow{p}=（1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{q}=（cosB，sinB）$，$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=-1且bcosC+ccosB=2asinA，則∠B=$\frac{π}{3}$，∠A=$\frac{π}{6}$，∠C=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 由條件兩個向量的數量積公式求得cos（B+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，可得B的值，再根據bcosC+ccosB=2asinA利用正弦定理，求得sinA=$\frac{1}{2}$，求得A，可得C的值．

解答 解：△ABC中，由$\overrightarrow{p}$•$\overrightarrow{q}$=cosB-$\sqrt{3}$sinB=2cos（B+$\frac{π}{3}$）=-1，可得cos（B+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
再結合0＜B＜π，可得 B+$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，∴B=$\frac{π}{3}$．
再根據bcosC+ccosB=2asinA，利用正弦定理可得sinBcosC+sinC•cosB=2sinA•sinA，
即sin（B+C）=2sinA•sinA，求得sinA=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{6}$，A=$\frac{5π}{6}$（不滿足內角和公式，舍去），
∴C=π-A-B=$\frac{π}{2}$，
故答案為：$\frac{π}{3}$；$\frac{π}{6}$；$\frac{π}{2}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數量積公式，正弦定理，三角形的內角和公式，屬于基礎題．