Question

8．已知P是圓x²+y²-2y=0上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求2x+y的范圍；
（2）若x+y+c≥0恒成立，求c的范圍；
（3）求$\frac{y-2}{x+2}$的取值范圍；
（4）（x+1）²+（y+2）²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x=cosα，y=1+sinα，α∈[0，2π），由三角函數(shù)的性質(zhì)能求出2x+y的范圍．
（2）由已知c≥-x-y恒成立，由-x-y=-sinα-cosα-1=-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-1，能求出c的范圍．
（3）由$\frac{y-2}{x+2}$=$\frac{sinα-1}{cosα+2}$，得$\frac{y-2}{x+2}$的取值范圍是單位圓x²+y²=1上一點(diǎn)和點(diǎn)（-2，1）連線的斜率k的取值范圍，由點(diǎn)到直線距離公式能求出$\frac{y-2}{x+2}$的取值范圍．
（4）（x+1）²+（y+2）²=cos²α+（1+sinα）²+2cosα+4（1+sinα）+5，由此利用三角函數(shù)能求出（x+1）²+（y+2）²的取值范圍．

解答 解：（1）∵P是圓x²+y²-2y=0上的動(dòng)點(diǎn)，∴P是圓x²+（y-1）²=1上的動(dòng)點(diǎn)，圓的圓心是（0，1），半徑r=1．
則圓的參數(shù)成為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$，α∈[0，2π），
∴2x+y=sinα+2cosα+1=$\sqrt{5}$sin（α+β）+1，
∴2x+y的范圍是[1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$]．
（2）∵x+y+c≥0恒成立，∴c≥-x-y恒成立
∵-x-y=-sinα-cosα-1=-$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）-1
∴-x-y的最大值為$\sqrt{2}$-1，
∴c的范圍是（$\sqrt{2}-1$，+∞）．
（3）∵$\frac{y-2}{x+2}$=$\frac{1+sinα-2}{cosα+2}$=$\frac{sinα-1}{cosα+2}$，代表點(diǎn)（cosα，sinα）與（-2，1）連線的斜率，
∴$\frac{y-2}{x+2}$的取值范圍是單位圓x²+y²=1上一點(diǎn)和點(diǎn)（-2，1）連線的斜率k的取值范圍，
點(diǎn)（-2，1）是定點(diǎn)，（cosα，sinα）在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)（cosα，sinα）與（-2，1）連線與圓相切時(shí)（共兩個(gè)情況）分別取得最大值與最小值，
設(shè)點(diǎn)（cosα，sinα）與（-2，1）連線l的方程為y-1=k（x+2），即kx-y+2k+1=0，
∵l與圓相切，∴原點(diǎn)（0，0）到直線l的距離為1，
由點(diǎn)到直線距離公式，得：|$\frac{k×0-0+2k+1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$|=1，
整理，得3k²-4k=0，解得k=0或k=-$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{y-2}{x+2}$的取值范圍是[-$\frac{4}{3}$，0]．
（4）（x+1）²+（y+2）²=x²+2x+1+y²+4y+4
=cos²α+（1+sinα）²+2cosα+4（1+sinα）+5
=cos²α+sin²α+6sinα+2cosα+10
=2$\sqrt{10}$sin（α+θ）+11，
∴（x+1）²+（y+2）²的取值范圍是[11-2$\sqrt{10}$，11+2$\sqrt{10}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意圓的方程、三角函數(shù)、點(diǎn)到直線距離公式、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．