Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，.為線段的中點(diǎn).

（1）證明：面；

（2）求與平面所成的角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)已知條件證明,結(jié)合平面.即可得證;

（2）解法一（幾何法）:先找到在平面內(nèi)的射影直線,則所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得結(jié)果;

解法二（空間向量法）:建立空間直角坐標(biāo)系,確定各點(diǎn)坐標(biāo),求出坐標(biāo)和平面的法向量坐標(biāo),結(jié)合線面角公式，即可得結(jié)果.

（1）取中點(diǎn),因?yàn)?/span>,,

所以,,∴.

因?yàn)?/span>平面,平面,所以,

因?yàn)?/span>平面,平面,,

所以面.

（2）法一：連結(jié),由（1）平面可得,

與平面所成角為.

∵,分別是,的中點(diǎn)，

∴,

因?yàn)?/span>,,

所以,，

因?yàn)?/span>,所以,

∴在中,

，

∴.

因此與平面所成的角的正弦值為.

法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn),,平行于的直線

為，，軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則因?yàn)?/span>

,,所以,,

因?yàn)?/span>,所以,因此,,

,,,

從而為平面一個(gè)法向量,

,,

.

因此與平面所成的角的正弦值為.