Question

【題目】如圖，在三棱柱中，邊長(zhǎng)為的正方形，，

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使得，并求的值。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2） （3）證明見解析;

【解析】

（1）根據(jù)所給線段長(zhǎng)度,由勾股定理逆定理可得,結(jié)合正方形中的垂直關(guān)系,利用線面垂直的判定定理即可判斷平面.

（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面與平面的法向量,根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求得向量夾角的余弦值.

（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn),設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)垂直時(shí)的向量坐標(biāo)運(yùn)算求得點(diǎn)的坐標(biāo),即可證明存在點(diǎn);根據(jù)相似,即可求得的值.

（1）因?yàn)?/span>邊長(zhǎng)為的正方形, ,,

則,即

又正方形中,且

所以平面

（2）以為原點(diǎn),以所在直線為軸, 以所在直線為軸, 以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則,,,

所以,,

設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,

則代入可得,令則解得

所以

同理代入可得,令則解得

所以

則

由圖可知, 平面與平面形成的二面角為銳二面角

所以二面角的余弦值為

（3）證明:假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得,過作,作,如下圖所示:

設(shè),則由,即,所以

則,由,即,所以

所以

所以,

因?yàn)?/span>

所以

即,化簡(jiǎn)可得

解得

即在線段上存在點(diǎn)，使得

則