Question

【題目】已知橢圓：，過點(diǎn)且與軸不重合的直線與相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).

（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)，求直線的方程；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）當(dāng)垂直于軸時(shí)，其方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)后可得直線的斜率，于是可得直線方程。（2）由于在軸上，所以只需證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可得到結(jié)論成立，解題時(shí)注意直線方程的設(shè)法．

（1）設(shè)點(diǎn)，

當(dāng)垂直于軸時(shí)，可得，所以，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又，

所以，

所以直線的方程為．

（2）法一：

①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，

若，則，此時(shí)方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，因此，所以．

若，則，此時(shí)方程為，當(dāng)時(shí)，，所以，因此，所以．

綜上可得．

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，

由 消去y整理得，

其中，

設(shè)，，則，

因?yàn)?/span>，

所以直線的方程為

當(dāng)時(shí)，得，

因?yàn)?/span>

．

所以，

所以．

法二：

設(shè)直線，

由消去x整理得，

其中，

設(shè)，，則，

所以，故所以．

因?yàn)?/span>，

所以直線的方程為，

當(dāng)時(shí)，得，

所以，

所以．