Question

已知，函數(shù)，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

（3）若實(shí)數(shù)滿足，求證：

Answer 1

解．（1）∵，_，∴．

①若，則， 在上單調(diào)遞增；

②若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增， 　

③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減． 　

（2）∵，，

_，　

由（1）易知，當(dāng)時(shí)，在上的最小值：，

即時(shí)_，．　又，∴．

曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解．

而，即方程無實(shí)數(shù)解．故不存在． 

（3）證明：

，由（2）知，令得．