Question

已知已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅱ）記S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1，試比較2S_n與1的大小．

Answer 1

【答案】分析：本題考查了函數(shù)和數(shù)列的關(guān)系、等差數(shù)列的證明、數(shù)列的求和等知識點．
（Ⅰ）根據(jù)所給函數(shù)及數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）即可獲得{a_n}的遞推關(guān)系，然后通過推出得到證明．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上易得a_na_n+1=，由此不難想到“裂項法”求和．
解答：解：（Ⅰ）由已知得，，
∴，即．
∴數(shù)列是首項，公差d=2的等差數(shù)列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴，（8分）
∴，（10分）
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n+1=
==．（14分）
∴（n∈N^*），∴2S_n＜1．（16分）
點評：本題綜合性較強，涉及了多個知識點的融合，揭示了函數(shù)和數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系，并且在構(gòu)造數(shù)列，證明等差數(shù)列，裂項求和等方面設(shè)計了很好的情景，是一個培養(yǎng)邏輯推理能力和思維能力的好題，而且也代表了目前高考試題的方向．