Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具體見解析（3）

【解析】

（1）先求出，再寫出切線方程；（2）先求出，再通過對(duì)分類討論的單調(diào)性；（3）對(duì)分類討論，結(jié)合函數(shù)的圖象求出的取值范圍.

（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，

所以在處的切線方程為．

（2）

①時(shí)，，所以，得；，得，

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增：

②時(shí)，，解得或

當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增；

當(dāng)，則，故當(dāng)時(shí)，；

時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

當(dāng)，則，故當(dāng)時(shí)，；

時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

（3）①設(shè)，由（2）知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

又，，所以在有一解：取且，

則，所以在有一解，

所以有兩個(gè)零點(diǎn)；

②設(shè)，，只有一個(gè)零點(diǎn)；

③設(shè)，若，

由（2）知，在單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，

故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

若，由（2）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，

故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；