Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，其值為2.71828……）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）構(gòu)造函數(shù)，先將討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為討論直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性，求出值域，即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由求出零點(diǎn)，得到，再由題意得到成立，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)方法研究其單調(diào)性，進(jìn)而可求出結(jié)果.

（1）由得，令，

因此討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是討論直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

∵，在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增，，

又連續(xù)不斷，所以當(dāng)時(shí)，在上無零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上存在一個(gè)零點(diǎn).

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得在上存在一個(gè)零點(diǎn)，

由得，

由（1）可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

所以，

又存在，使成立，

所以，只需成立，即不等式成立，

令，

則，

易知在上恒成立，

故在上單調(diào)遞增

又，所以.

故實(shí)數(shù)的取值范圍為.