Question

如圖，過(guò)拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x，y）（y＞0），作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于A(yíng)（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）求該拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離
（II）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線(xiàn)AB的斜率是非零常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）把代入拋物線(xiàn)方程求得x，進(jìn)而利用拋物線(xiàn)的方程推斷出準(zhǔn)線(xiàn)方程，最后根據(jù)拋物線(xiàn)的定義求得答案．
（II）設(shè)出直線(xiàn)PA，PB的斜率，把A，P點(diǎn)代入拋物線(xiàn)的方程相減后，表示出兩直線(xiàn)的斜率，利用其傾斜角互補(bǔ)推斷出
k_PA=-k_PB，求得三點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系式，同樣把把A，B點(diǎn)代入拋物線(xiàn)的方程相減后，表示出AB的斜率，將y₁+y₂=-2y代入求得結(jié)果為非零常數(shù)．
解答：解：（I）當(dāng)時(shí)，
又拋物線(xiàn)y²=2px的準(zhǔn)線(xiàn)方程為
由拋物線(xiàn)定義得，所求距離為

（II）設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k_PA，直線(xiàn)PB的斜率為k_PB
由y₁²=2px₁，y²=2px
相減得（y₁-y）（y₁+y）=2p（x₁-x）
故
同理可得
由PA，PB傾斜角互補(bǔ)知k_PA=-k_PB
即
所以y₁+y₂=-2y
故
設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k_AB
由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁
相減得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）
所以
將y₁+y₂=-2y（y＞0）代入得，所以k_AB是非零常數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線(xiàn)、拋物線(xiàn)等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．