Question

【題目】已知圓的圓心坐標(biāo)，直線(xiàn)：被圓截得弦長(zhǎng)為。

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）從圓外一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程。

Answer 1

【答案】（1）；（2）和.

【解析】試題分析： 設(shè)圓的半徑為，根據(jù)圓心坐標(biāo)寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)的距離即為弦心距，然后根據(jù)垂徑定理得到其垂足為弦的中點(diǎn)，由弦長(zhǎng)的一半，圓心距及半徑構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，從而確定圓的方程；

當(dāng)切線(xiàn)方程的斜率不存在時(shí)，顯然得到為圓的切線(xiàn)；

當(dāng)切線(xiàn)方程的斜率存在時(shí)，設(shè)出切線(xiàn)的斜率為，由的坐標(biāo)和寫(xiě)出切線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到所設(shè)直線(xiàn)的距離，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切，得到等于圓的半徑，列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，從而確定出切線(xiàn)的方程，綜上，得到所求圓的兩條切線(xiàn)方程。

解析：（Ⅰ）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

圓心到直線(xiàn)的距離： ，

則

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（Ⅱ）①當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)： ，此時(shí)滿(mǎn)足直線(xiàn)與圓相切。

②當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)： ，即

則圓心到直線(xiàn)的距離：

解得： ，即

則切線(xiàn)方程為：

綜上，切線(xiàn)方程為： 和