Question

【題目】已知橢圓 的右頂點(diǎn)，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知（異于點(diǎn)）為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作線段的垂線交橢圓于點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】

（1）由橢圓右頂點(diǎn)求出，由離心率求出，再由求出，從而求出橢圓方程；（2）先考慮AP斜率不存在，再考慮斜率存在時(shí)，設(shè)出AP方程，聯(lián)立橢圓方程，解出點(diǎn)P坐標(biāo)，然后求出AP長(zhǎng)度，同理求出DE長(zhǎng)度，從而求出比值，用換元法結(jié)合單調(diào)性求出其范圍.

解：（Ⅰ）因?yàn)?/span>是橢圓的右頂點(diǎn)，所以.

又，所以.

所以.

所以橢圓的方程為

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，為橢圓的短軸，

則，所以.

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，

設(shè)直線的方程為，，

則直線DE的方程為.

由

得.

所以

所以

所以..

同理可求.

所以

設(shè)則，.

令，

則.

所以是一個(gè)增函數(shù).

所以.

綜上：的取值范圍為.