Question

12．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S，滿足${a}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，且a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=$\frac{n}{_{n}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，得到2S_n=${{a}_{n+1}}^{2}$-n-4，當(dāng)n≥2時(shí)，$2{S}_{n-1}={{a}_{n}}^{2}-（n-1）-4$，兩式相減并化簡(jiǎn)，得數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，再由題目中其他條件結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)能計(jì)算出{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由c_n=$\frac{n}{_{n}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{n}{{2}^{n}}-（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，利用分組求和法、錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S，滿足${a}_{n+1}^{2}$=2S_n+n+4，
∴2S_n=${{a}_{n+1}}^{2}$-n-4，①
當(dāng)n≥2時(shí)，$2{S}_{n-1}={{a}_{n}}^{2}-（n-1）-4$，②
①-②，得：2a_n=${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}$-1，∴${{a}_{n+1}}^{2}=（{a}_{n}+1）^{2}$，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+1，
∵a₂-1，a₃，a₇恰為等比數(shù)列{b_n}的前3項(xiàng)，
∴${{a}_{3}}^{2}=（{a}_{2}-1）×{a}_{7}$，即（a₁+2）²=（a₁+1-1）×（a₁+6），
解得a₁=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×1=n+1．
b₁=a₂-1=（2+1）-1=2，
b₂=a₃=3+1=4，
∴等比數(shù)列{b_n}的公比q=$\frac{_{2}}{_{1}}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴b_n=$_{1}{q}^{n-1}$=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）∵c_n=$\frac{n}{_{n}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}a}_{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{n}{{2}^{n}}-（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=（$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=（$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$），
設(shè)S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，③
則$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+\frac{3}{{2}^{4}}+…+\frac{n}{{2}^{n+1}}$，④
③-④，得$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=$1-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}+\frac{1}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法、錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用，是中檔題．