Question

1．如圖，已知四棱錐P-ABCD，ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，給出下列命題：
①PB⊥AC；
②平面PAB與平面PCD的交線與AB平行；
③平面PBD⊥平面PAC；
④△PBD為銳角三角形．
其中真命題的序號是（寫出全部真命題的序號）（　　）

• A． ②③
• B． ①②③④
• C． ③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 設AC∩BD=O，由題意證明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，與在同一平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾說明①錯誤；
由線面平行的判定和性質說明②正確；由線面垂直的判定和性質說明③正確；由直角三角形中的邊角關系說明∠BPD為銳角，再由PB=PD可知△PBD為銳角三角形，說明④正確．

解答 解：如圖，

①、若PB⊥AC，∵AC⊥BD，則AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，則AC⊥PA，在平面PAC內過P有兩條直線與AC垂直，與在同一平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾．①錯誤；
②、∵CD∥AB，則CD∥平面PAB，∴平面PAB與平面PCD的交線與AB平行．②正確；
③、∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，則平面PBD⊥平面PAC．③正確；
④、在Rt△AOB和Rt△POB中，由BO=BO，PO＞AO可知∠BPO＜∠BAO，同理說明∠DPO＜∠DAO，∴∠BPD為銳角，
再由PB=PD，可得△PBD為銳角三角形．④正確．
故選：D．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了空間中直線和平面的位置關系，是中檔題．