Question

在數(shù)列中，已知，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，其中為正整數(shù).

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)問是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1) ， (2)

【解析】

試題分析：(1) 由和項(xiàng)與通項(xiàng)的關(guān)系，化簡(jiǎn)得到數(shù)列的遞推關(guān)系：當(dāng)時(shí)， ，兩式相減得，從而得到數(shù)列為隔項(xiàng)成等差，又，可解得 ，同理因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606035999932851/SYS201506260604070778616021_DA/SYS201506260604070778616021_DA.011.png">，所以所以數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，所以

(2)先根據(jù)等比數(shù)列和項(xiàng)公式得：，代入化簡(jiǎn)繁分?jǐn)?shù)并部分分離得：，取倒數(shù)要明確數(shù)的性質(zhì)：即，從而可解得

試題解析：(1) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606035999932851/SYS201506260604070778616021_DA/SYS201506260604070778616021_DA.020.png"> ，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，又 也適合， 2分

當(dāng)時(shí)，，兩式相減得， 4分

所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成公差為2的等差，偶數(shù)項(xiàng)也成公差為2的等差

又，可解得 6分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606035999932851/SYS201506260604070778616021_DA/SYS201506260604070778616021_DA.031.png">，所以

又，所以數(shù)列成公比為的等比數(shù)列

所以 8分

(2) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062606035999932851/SYS201506260604070778616021_DA/SYS201506260604070778616021_DA.037.png">，所以 10分

由得 12分

化簡(jiǎn)得：

14分

故，符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)為 16分

考點(diǎn)：由數(shù)列和項(xiàng)求通項(xiàng)，數(shù)列綜合應(yīng)用