Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點．

(1)證明：；

(2)若為上的動點，與平面所成最大角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．

因為為的中點，所以

又，因此

因為平面，平面，所以

而平面，平面且

所以平面．又平面

所以.------------------------------(3分)

(2)解：設(shè)，為上任意一點，連接．

由(1)知平面

所以為與平面所成的角

在中，，

所以當(dāng)最短時，最大，即當(dāng)時，最大．

因為，此時

因此．又，所以，所以．----------------(5分)

解法一：因為平面，平面

所以平面平面  

過作于，則平面

過作于，連接，則為二面角的平面角-------(7分)

在中，，

又是的中點，在中，

又

在中，-------------------------------(9分)

即所求二面角的余弦值為．-------------------------------------------(10分)

解法二：由(1)知兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又分別為的中點，所以

所以

設(shè)平面的一法向量為

則因此

取，則-----------------------------------------------(7分)

因為，，，所以平面

故為平面的一法向量,又

所以．---------------------------(9分)

因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．-------------(10分)

解法三：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)菱形的邊長為2，則，設(shè)

由三點共線可設(shè)，則-------------(4分)

，又平面的一個法向量

設(shè)與平面所成角為，則-(5分)

令

---------------------------(6分)

------------(7分)

易得平面的一個法向量；平面的一個法向量-(8分)

------------------------------------------(9分)

又二面角是銳二面角