Question

12．對于函數(shù)y=x²-（a+1）x+a²，如果關于x的不等式y(tǒng)＜0有解．
（1）求a的取值范圍：；
（2）求函數(shù)在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于關于x的不等式x²-（a+1）x+a²＜0有解．可得△＞0，解出即可．
（2）由$-\frac{1}{3}＜a＜1$，可得$\frac{1}{3}＜\frac{a+1}{2}＜1$．y=f（x）=x²-（a+1）x+a²=$（x-\frac{a+1}{2}）^{2}$+$\frac{3{a}^{2}-2a-1}{4}$．（x∈[-1，1]）．可得函數(shù)f（x）在$[-1，\frac{a+1}{2}]$單調遞減；函數(shù)f（x）在$[\frac{a+1}{2}，1]$單調遞增．比較f（-1）與f（1）即可得出．

解答 解：（1）∵關于x的不等式x²-（a+1）x+a²＜0有解．
∴△=（a+1）²-4a²＞0，化為$（a+\frac{1}{3}）（a-1）$＜0，
解得$-\frac{1}{3}＜a＜1$，
∴a的取值范圍是$（-\frac{1}{3}，1）$．
（2）∵$-\frac{1}{3}＜a＜1$，∴$\frac{1}{3}＜\frac{a+1}{2}＜1$．
y=f（x）=x²-（a+1）x+a²=$（x-\frac{a+1}{2}）^{2}$+$\frac{3{a}^{2}-2a-1}{4}$．（x∈[-1，1]）．
∴函數(shù)f（x）在$[-1，\frac{a+1}{2}]$單調遞減；函數(shù)f（x）在$[\frac{a+1}{2}，1]$單調遞增．
又f（-1）=a²+a+2，f（1）=a²-a，
f（-1）-f（1）=2a+2＞0，
∴f（-1）＞f（1），
∴當x=-1時，函數(shù)f（x）取得最大值a²+a+2．

點評 本題考查了二次函數(shù)的單調性、一元二次不等式的解法，考查了數(shù)形結合的思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．