Question

【題目】從拋物線上任意一點(diǎn)向軸作垂線段垂足為，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)直線與軌跡交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為軌跡上異于的任意一點(diǎn)，直線分別與直線交于兩點(diǎn).問：軸正半軸上是否存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過該定點(diǎn)？若存在，求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，理由詳見解析.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)，利用關(guān)系，將點(diǎn)坐標(biāo)表示為形式，代入拋物線方程，即可求解；

（2）將直線與軌跡方程聯(lián)立，消去得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系，建立縱坐標(biāo)關(guān)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線方程，進(jìn)而求出坐標(biāo)，先求出為原點(diǎn)時(shí)， 為直徑的圓過軸正半軸上定點(diǎn)，而后證明為曲線不同于任意點(diǎn)時(shí)，判定該定點(diǎn)是否在以為直徑的圓上，即可求出結(jié)論.

（1）設(shè)，則，

在拋物線上，

為曲線的方程；

（2）設(shè)，

聯(lián)立，消去，

，

直線的斜率為，

直線方程為，

令，

所以，同理，

令中點(diǎn)坐標(biāo)為，

，

以為直徑的圓方程為，

令或（舍去）

當(dāng)為坐標(biāo)原點(diǎn)是以為直徑的圓過定點(diǎn)，

當(dāng)不過原點(diǎn)時(shí)，，

，

，以為直徑的圓過點(diǎn)，

軸正半軸上存在定點(diǎn)使得以為直徑的圓過該定點(diǎn)