Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$ 對任意的x∈R，不等式f（x）＜a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 先將原函數(shù)分離常數(shù)，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，再求含有自變量部分的式子的范圍，則問題可解．

解答 解：由已知原函數(shù)可化為：$f（x）=\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}=1-\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
因為2^x＞0，所以2^x+1＞1，
所以0$＜\frac{2}{{2}^{x}+1}＜2$，所以$-2＜-\frac{2}{{2}^{x}+1}＜0$，
所以$-1＜1-\frac{2}{{2}^{x}+1}＜1$，
所以要使對任意的x∈R，不等式f（x）＜a恒成立，
只需a≥1即可．
故所求a的范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題的解題思路．