Question

設(shè)是虛數(shù)是實(shí)數(shù)，且．

（1）求的值及的實(shí)部的取值范圍．

（2）設(shè)，求證：為純虛數(shù)；

（3）求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）時(shí)，取得最小值1.

【解析】

試題分析：

（1）解：設(shè)，

則．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013030621392394072750/SYS201303062140045188727902_DA.files/image006.png">是實(shí)數(shù)，，所以，即．

于是，即，．

所以的實(shí)部的取值范圍是；

（2）證明：．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013030621392394072750/SYS201303062140045188727902_DA.files/image016.png">，，所以為純虛數(shù)；

（3）解：

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013030621392394072750/SYS201303062140045188727902_DA.files/image016.png">，所以，

故．

當(dāng)，即時(shí)，取得最小值1．

考點(diǎn)：本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)運(yùn)算，均值定理的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：綜合題，對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力要求較高。解答（2）題關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一是能否構(gòu)建函數(shù)模型，二是如何求函數(shù)的最值。