Question

1．若函數(shù)f（x）=（x²+bx+b）$\sqrt{1-2x}$（b∈R）在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上單調遞增，則b的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，$\frac{1}{9}$]
• B． [$\frac{1}{9}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{9}$）
• D． （$\frac{1}{9}$，+∞）

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上大于等于0恒成立，得到b≤$\frac{2-5x}{3}$對任意x∈（0，$\frac{1}{3}$）恒成立．由單調性求出$\frac{2-5x}{3}$的范圍得答案．

解答 解：由f（x）=（x²+bx+b）$\sqrt{1-2x}$，得：f′（x）=$\frac{-5{x}^{2}-3bx+2x}{\sqrt{1-2x}}$．
由f（x）在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上單調遞增，
得f′（x）≥0對任意x∈（0，$\frac{1}{3}$）恒成立．
即-5x²-3bx+2x≥0對任意x∈（0，$\frac{1}{3}$）恒成立．
∴b≤$\frac{2-5x}{3}$對任意x∈（0，$\frac{1}{3}$）恒成立．
∵$\frac{2-5x}{3}$＞$\frac{2-5×\frac{1}{3}}{3}$=$\frac{1}{9}$．
∴b≤$\frac{1}{9}$．
∴b的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{9}$]，
故選：A．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．