Question

16．已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)）是R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)
（1）求a的值；
（2）討論關(guān)于x的方程$\frac{lnx}{f（x）}={x}^{2}$-2ex+e²+$\frac{1}{e}$的根的個數(shù)；
（3）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)性質(zhì)f（0）=0，求出a值
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)交點解決根的問題
（3）構(gòu)造函數(shù)，恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題，通過一次函數(shù)進行求解．$\frac{1}{e}$$\frac{1}{e}$$\frac{1}{e}$$\frac{1}{e}$$\frac{1}{e}$

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函數(shù)
∴f（0）=0，∴f（0）=ln（e⁰+a）=0
∴l(xiāng)n（1+a）=0
∴a=0
（2）由（I）知f（x）=x
令f₁（x）=$\frac{lnx}{x}$
f₂（x）=x²-2ex+e²+$\frac{1}{e}$
∵f1′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$
∴當x∈（0，e）時，f₁′（x）＞0，∴f₁（x）在（0，e）上為增函數(shù)
當x∈（e，+∞）時，f₁′（x）＜0，∴f₁（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)
∴當x=e時，f₁（x）_max=f₁（e）=$\frac{1}{e}$
而f₂（x）=（x-e）²+$\frac{1}{e}$，當x=e時，f₂（x）_min=f₂（e）=$\frac{1}{e}$
故函數(shù)根的個數(shù)為1個．
（3）由（I）知f（x）=x
g′（x）=λ+cosx
又∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減
∴g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立
∴λ≤-cosx對x∈[-1，1]恒成立
∵[-cosx]_min=-1
∴λ≤-1
∵g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即g（x）max≤t2+λt+1
∵g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1
∴-λ-sin1≤t²+λt+1
即（t+1）λ+t²+sin1+1≥0對λ≤-1恒成立
令F（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
∴t+1≤0
F（-1）≥0
∵F（-1）=t²-t+sin1在t≤-1時恒大于零
∴t≤-1．

點評 此題綜合性強，考察了奇函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，恒成立問題轉(zhuǎn)換為最值問題．