Question

（本小題共l4分）

已知函數(shù)，．

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F(x)＝18f(x)－x²[h(x)]²，求F(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）設(shè)，解關(guān)于x的方程；

（Ⅲ）設(shè)，證明：．

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問題、解決問題的能力．

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

當(dāng)時．；當(dāng)時，，

故當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)．

為的極大值點，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化為，

即為，且

①當(dāng)時，，則，即，

，此時，∵，

此時方程僅有一解．

②當(dāng)時，，由，得，，

若，則，方程有兩解；

若時，則，方程有一解；

若或，原方程無解．

方法二：原方程可化為，

即，

①當(dāng)時，原方程有一解；

②當(dāng)時，原方程有二解；

③當(dāng)時，原方程有一解；

④當(dāng)或時，原方程無解．

（Ⅲ）由已知得，

．

設(shè)數(shù)列的前n項和為，且（）

從而有，當(dāng)時，．

又

．

即對任意時，有，又因為，所以．

則，故原不等式成立．