Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且與雙曲線的實(shí)軸長相等，求拋物線的方程；

（2）對于（1）中求出的拋物線，若點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為（不同于點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)．

①求證：點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②若，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) ①見證明； ②

【解析】

（1）由題意得，故，于是可得拋物線方程．（2）①設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程后得到關(guān)于的二次方程，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及三點(diǎn)共線并由向量的共線可證得結(jié)論成立；②由可得為等腰直角三角形，所以，整理可得，兩邊平方后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到，且．再由題意得到，令，可得，最后構(gòu)造函數(shù)可得所求范圍．

（1）由題意，知，

∵與雙曲線的實(shí)軸長相等，

∴，解得，

∴拋物線的方程為．

（2）①由題意，可設(shè)直線的方程為，

由消去整理得，

∵，

∴．

設(shè)，則，

由題意得，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，

由題意知，

∴，

即．

又，

∴，

顯然，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

②由題意，為等腰直角三角形，

∴，即，

∴，

∴，即，

∴，且，

又，所以．

又點(diǎn)到直線的距離．

令，則，且，

∴．

設(shè)，則在上為減函數(shù)，

∴，即，

∴的取值范圍為．