Question

已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”，試問：函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）函數(shù)不存在“中值相依切線”.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，分和兩種情況分別進(jìn)行分析，當(dāng)時(shí), , 顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí), ，令,解得或;所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增；（2）先設(shè)是曲線上的不同兩點(diǎn)，求出的表達(dá)式化簡(jiǎn)得到：，再經(jīng)過求導(dǎo)分析得出函數(shù)不存在“中值相依切線”.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域是. 由已知得，

當(dāng)時(shí), , 顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí), ，令,解得或;

函數(shù)在和上單調(diào)遞增，

綜上所述:①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增；

（2）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”

設(shè)是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，

則，.

曲線在點(diǎn)處的切線斜率

依題意得：

化簡(jiǎn)可得： ， 即=

設(shè) ()，上式化為：,

. 令,

.

因?yàn)?/span>,顯然，所以在上遞增,

顯然有恒成立. 所以在內(nèi)不存在,使得成立.

綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”.

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的綜合應(yīng)用.