Question

3．已知函數(shù)$f（x）=sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，其最小正周期為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+k=0，在區(qū)間$[{0，\frac{π}{2}}]$上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由題意可得函數(shù)g（x）與y=-k在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得k的范圍．

解答 解：（1）由題意知函數(shù)$f（x）=sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，其最小正周期為$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{2ω}$，∴ω=2．
所以f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將f（x）的圖象向右平移個(gè)$\frac{π}{8}$個(gè)單位后，得到y(tǒng)=sin（4x-$\frac{π}{3}$） 的圖象，
再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的圖象．
所以g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
因?yàn)?≤x≤$\frac{π}{2}$，所以-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
g（x）+k=0在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即函數(shù)g（x）與y=-k在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
由正弦函數(shù)的圖象可知-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤k＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$或-k=1，即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜k≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或k=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象，屬于中檔題．