Question

如圖5，在棱長為的正方體中，點是棱的

中點，點在棱上，且滿足．

（1）求證：；

（2）在棱上確定一點， 使，，，四點共面，并求

此時的長；

（3）求平面與平面所成二面角的余弦值．

 

Answer 1

推理論證法：

（1）證明：連結，，因為四邊形是正方形，所以．

在正方體中，平面，平面，所以． 因為，，平面，

所以平面． 因為平面，所以．

（2）解：取的中點，連結，則．

在平面中，過點作，則．

連結，則，，，四點共面．

因為，，

所以．故當時，，，，四點共面．

（3）延長，，設，連結，

    則是平面與平面的交線．

過點作，垂足為，連結，

因為，，所以平面．

因為平面，所以．

所以為平面與平面所成二面角的平面角．

因為，即，所以．

在△中，，，

所以

         ．即．

因為，

所以．

所以．所以．

故平面與平面所成二面角的余弦值為．

空間向量法：

（1）證明：以點為坐標原點，，，所在的直線

分別為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角坐標系，

則，，，

，，

所以，．

因為，所以．所以．

（2）解：設，因為平面平面，

平面平面，平面平面，所以．（

所以存在實數(shù)，使得．

因為，，所以．

所以，．所以．

故當時，，，，四點共面．

（3）解：由（1）知，．

設是平面的法向量，則即

取，則，．所以是平面的一個法向量．

而是平面的一個法向量，

設平面與平面所成的二面角為，則．

故平面與平面所成二面角的余弦值為．