Question

【題目】設(shè)是定義在上的函數(shù)，若對任何實數(shù)以及中的任意兩數(shù)、，恒有，則稱為定義在上的函數(shù)．

（1）證明函數(shù)是定義域上的函數(shù)；

（2）判斷函數(shù)是否為定義域上的函數(shù)，請說明理由；

（3）若是定義域為的函數(shù)，且最小正周期為，試證明不是上的函數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不是函數(shù)；（3）證明見解析．

【解析】

（1）證明如下：對任意實數(shù)及，

有

，

即，

∴是函數(shù)；

（2）不是函數(shù)，

說明如下（舉反例）：

取，，，

則

，

即，

∴不是函數(shù)；

（3）假設(shè)是上的函數(shù)，

若存在且，使得

（i）若，

記，，，則，且，

那么

，

這與矛盾；

（ii）若，

記，，，同理也可得到矛盾；

∴在上是常數(shù)函數(shù)，

又因為是周期為的函數(shù)，

所以在上是常數(shù)函數(shù)，這與的最小正周期為矛盾.

所以不是上的函數(shù).