Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，，試證：.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為與，減區(qū)間為；（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，令，可得增區(qū)間，令，可得減區(qū)間，要注意函數(shù)定義域為；

（2）構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)后得，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性可得在上恒成立，因為，所以，即①；同理，構(gòu)造函數(shù)，，可證②，結(jié)合①②，結(jié)論可證.

（1）由題設(shè)知函數(shù)的定義域為且

故當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以的單調(diào)增區(qū)間為與，減區(qū)間為；

（2）由（1）知：，先證.

構(gòu)造函數(shù)，

則

故在上恒成立，即在上單調(diào)遞增

所以在上恒成立，

又，得，又且函數(shù)在上單調(diào)遞減

故，即 ①

再證.構(gòu)造函數(shù)，

故在上恒成立，即在上單調(diào)遞增

所以在上恒成立，

又，得，

又且函數(shù)在上單調(diào)遞增

故，即 ②

結(jié)合①②得：