Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案不唯一，見解析；(2)

【解析】

（1）先由題意得到定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果；

（2）因為，由（1）得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則可化為，令，則為上的減函數(shù)，對求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果.

（1）∵依題意可知：函數(shù)的定義域為，

∴，

當(dāng)時，在恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，由得；由得；

綜上可得當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

（2）因為，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)，則，

可化為，

設(shè)，則，

所以為上的減函數(shù)，

即在上恒成立，等價于在上恒成立，

設(shè)，所以，

因，所以，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

所以．