Question

7．數列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{2}{5}$，n＞1時，$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，則a_n等于$\frac{2}{n+3}$．

Answer 1

分析 根據條件構造等差數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$，利用等差數列的通項公式即可得到結論．

解答 解：∵n＞1時，$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴數列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數列，首項為$\frac{1}{{a}_{1}}=2$，公差d=$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+3}{2}$，
即a_n=$\frac{2}{n+3}$，
故答案為：$\frac{2}{n+3}$

點評 本題主要考查數列的通項公式的求解，根據條件構造等差數列是解決本題的關鍵．