Question

13．函數(shù)y=x（x-1）（x-3）的圖象為C，過原點(diǎn)O且斜率為t的直線為l，設(shè)C與l除原點(diǎn)O以外，還有另外兩個(gè)交點(diǎn)P，Q（可以重合），記函數(shù)f（t）=|$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$|，寫出f（t）的表達(dá)式并求其極值．

Answer 1

分析 由函數(shù)y和直線y=tx聯(lián)立，求得三交點(diǎn)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得函數(shù)f（t），再由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，可得極值．

解答 解：由y=x（x-1）（x-3）和y=tx聯(lián)立，
可得x=0和x²-4x+3-t=0，
由題意可得△≥0，即16-4（3-t）≥0，
解得t≥-1，
解得x=2±$\sqrt{1+t}$，
即有P（2+$\sqrt{1+t}$，t（2+$\sqrt{1+t}$）），
Q（2-$\sqrt{1+t}$，t（2-$\sqrt{1+t}$）），
則f（t）=|$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$|=（2$+\sqrt{1+t}$）（2-$\sqrt{1+t}$）+t²（2$+\sqrt{1+t}$）（2-$\sqrt{1+t}$）
=3-t+t²（3-t）=-t³+3t²-t+3（t≥-1），
f′（t）=-3t²+6t-1，
當(dāng)1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$＜t＜1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)，f′（t）＞0，f（t）遞增；
當(dāng)-1≤t＜1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$或t＞1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$時(shí)，f′（t）＜0，f（t）遞減．
即有x=1-$\frac{\sqrt{6}}{3}$處取得極小值，且為4-$\frac{4\sqrt{6}}{9}$；
x=1+$\frac{\sqrt{6}}{3}$處取得極大值，且為4+$\frac{4\sqrt{6}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．