Question

8．求函數(shù)y=sin²x•cosx的最大值．

Answer 1

分析 設(shè)cosx=t，則 函數(shù)y=t-t³，t∈[-1，1]．再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的極值，求出函數(shù)的端點(diǎn)值，綜合可得函數(shù)的在閉區(qū)間上的最大值．

解答 解：y=sin²x•cosx=（1-cos²x）cosx=cosx-cos³x，設(shè)cosx=t，則 函數(shù)y=t-t³，t∈[-1，1]．
令y′=1-3t²=0，求得t=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上，y′＞0，函數(shù)y為增函數(shù)；
在（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）、（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]上，y′＜0，函數(shù)y為減函數(shù)，
故函數(shù)的極大值為f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，極小值為f（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，
再根據(jù)f（-1）=0，f（1）=0，可得函數(shù)y=t-t³在[-1 1]上的最大值為f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．