Question

19．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的兩條漸近線的夾角為$\frac{π}{3}$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得斜率為$\frac{\sqrt{2}}{a}$的漸近線的傾斜角為$\frac{π}{6}$，由tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{a}$，求得a的值，可得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1（a＞$\sqrt{2}$）的兩條漸近線的夾角為$\frac{π}{3}$，可得斜率為$\frac{\sqrt{2}}{a}$的漸近線的傾斜角為$\frac{π}{6}$，
∴tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{2}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得a=$\sqrt{6}$，∴雙曲線的離心率為$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6+2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．