Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心、橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.

(1) 求橢圓C的方程;

(2) 已知點(diǎn)P(0,1),Q(0,2),設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T,求證:點(diǎn)T在橢圓C上.

Answer 1

 (1) 由題意知b==.

因?yàn)殡x心率e==,

所以==.

所以a=2.

所以橢圓C的方程為+=1.

(2) 由題意可設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(-x0,y0),則

直線PM的方程為y=x+1�、�,

直線QN的方程為y=x+2　②.

方法一　聯(lián)立①②解得x=,y=,

即T.

由+=1,可得=8-4.

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/11/13/04/2014111304522195203109.files/image048.gif'>+=====1,

所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程,即點(diǎn)T在橢圓C上.

方法二　設(shè)T(x,y).

聯(lián)立①②解得x0=,y0=.

因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/11/13/04/2014111304522195203109.files/image044.gif'>+=1,所以+=1,

整理得+=(2y-3)2,

所以+-12y+8=4y2-12y+9,

即+=1.

所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程,即點(diǎn)T在橢圓C上.