Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性及極值；

（Ⅱ）若不等式在內(nèi)恒成立，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）函數(shù)求導(dǎo)得，討論和演技單調(diào)性及極值即可；

（2）當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)不恒成立，當(dāng)時(shí)， ，即，所以.令，進(jìn)而通過求導(dǎo)即可得最值.

試題解析：

（1）由題意得.

當(dāng)，即時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞增，沒有極值.

當(dāng)，即，

令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)，取得最小值，無極大值.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，沒有極值；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，的極小值為，無極大值.

（2）由（1），知當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，成立.

當(dāng)時(shí)，令為和中較小的數(shù)，

所以，且.

則，.

所以，

與恒成立矛盾，應(yīng)舍去.

當(dāng)時(shí)， ，

即，

所以.

令，

則.

令，得，

令，得，

故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

故，

即當(dāng)時(shí)，.

所以.

所以.

而，

所以.