Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝.

(1)證明：PC⊥BD；

(2)若E為PA的中點，求三棱錐P－BCE的體積．

Answer 1

解析：　(1)證明：連接AC，交BD于點O，連接PO.

因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.

由PB＝PD知，PO⊥BD.

又因為PO∩AC＝O，所以BD⊥平面APC.

又PC⊂平面APC，因此BD⊥PC.

(2)因為E是PA的中點，

所以V_{三棱錐P－BCE}＝V_{三棱錐C－PEB}

＝V_{三棱錐C－PAB}

＝V_{三棱錐B－APC}.

由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.

因為∠BAD＝60°，

所以PO＝AO＝，AC＝2，BO＝1.

又PA＝，所以PO²＋AO²＝PA²，所以PO⊥AC，

故S_△APC＝PO·AC＝3.

由(1)知，BO⊥平面APC，

因此V_{三棱錐P－BCE}＝V_{三棱錐B－APC}＝··BO·S_△APC＝.