Question

4．如圖所示，半徑為R的圓的內(nèi)接等腰梯形ABCD的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上，建立這個梯形的周長y與腰長x的解析式，并求出它的定義域函數(shù)解析式，并求出它的定義域．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)垂徑定理，可得輔助線OE⊥AD，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得AF的值，即可求得CD的值，問題得解．

解答 解：過點O作OE⊥AD于E，過點D作DF⊥AB于F，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$x，
∴cosA=$\frac{AE}{OA}$=$\frac{x}{2R}$，
∵cosA=$\frac{AF}{AD}$，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{x}{2R}$，
∵AD=x，
∴AF=$\frac{{x}^{2}}{2R}$，
∴CD=2OF=2（OA-AF）=2R-$\frac{{x}^{2}}{R}$，
∴周長y=2R+2x+CD=4R+2x-$\frac{{x}^{2}}{R}$．定義域（0＜x＜$\sqrt{2}$R）．

點評 本題以半圓為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，關(guān)鍵是腰長表示上底長，比較基礎(chǔ)．