Question

14．已知點A（0，2），B（4，4），$\overrightarrow{OM}={t_1}\overrightarrow{OA}+{t_2}\overrightarrow{AB}$；
（1）若點M在第二或第三象限，且t₁=2，求t₂取值范圍；
（2）若t₁=4cosθ，t₂=sinθ，θ∈R，求$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{AB}$方向上投影的取值范圍；
（3）若t₁=a²，求當$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{AB}$，且△ABM的面積為12時，a和t₂的值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的坐標表示，結合題意，即可求出t₂的取值范圍；
（2）根據向量投影的定義，利用三角函數的性質求出$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{AB}$方向上投影的取值范圍；
（3）根據$\overrightarrow{OM}⊥\overrightarrow{AB}$，其數量積為0，結合△ABM的面積列出方程組，求出a和t₂的值．

解答 解：（1）點A（0，2），B（4，4），
$\overrightarrow{OM}={t_1}\overrightarrow{OA}+{t_2}\overrightarrow{AB}$=（4t₂，2t₁+4t₂）；
若點M在第二或第三象限，且t₁=2，
則$\left\{\begin{array}{l}{{4t}_{2}＜0}\\{{2×2+4t}_{2}≠0}\end{array}\right.$，
解得t₂＜0，且t₂≠-1；
（2）$\overrightarrow{AB}=（{4，4}）$，$\overrightarrow{OM}=（{4{t_2}，2{t_1}+4{t_2}}）$，
∴$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{AB}$方向上投影為
|$\overrightarrow{OM}$|•cos＜$\overrightarrow{OM}$，$\overrightarrow{AB}$＞=$\frac{\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$
=$\frac{3{2t}_{2}+{8t}_{1}}{4\sqrt{2}}$
=4$\sqrt{2}$t₂+$\sqrt{2}$t₁
=4$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）
=8sin（θ+$\frac{π}{4}$）；
∴$\overrightarrow{OM}$在$\overrightarrow{AB}$方向上投影的范圍為[-8，8]；
（3）$\overrightarrow{OM}=（{4{t_2}，2{t_1}+4{t_2}}）$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AB}=32{t_2}+8{t_1}=0$，
且${t_1}={a^2}$，
∴${t_2}=-\frac{1}{4}{a^2}$，$\overrightarrow{OM}=（{-{a^2}，{a^2}}）$；
∴點M到直線AB：x-y+2=0的距離為：
$d=\frac{{|{-{a^2}-{a^2}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}|{{a^2}-1}|$；
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×\sqrt{2}|{{a^2}-1}|=12$，
解得a=±2，t₂=-1．

點評 本題考查了平面向量的坐標表示，向量投影以及數量積的運算問題，也考查了三角形面積公式的應用問題，是綜合題．