Question

【題目】現(xiàn)有甲乙丙丁四個人相互之間傳球，從甲開始傳球，甲等可能地把球傳給乙丙丁中的任何一個人，依此類推.

（1）通過三次傳球后，球經(jīng)過乙的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列和期望；

（2）設(shè)經(jīng)過n次傳球后，球落在甲手上的概率為an，

（i）求a1,a2,an；

（ii）探究：隨著傳球的次數(shù)足夠多，球落在甲乙丙丁每個人手上的概率是否相等，并簡單說明理由.

Answer 1

【答案】（1）分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為；（2）(i)；(ii)球落在甲乙丙丁每個人手上的概率相等，都是，理由見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)題意，寫出ξ的取值，求得分布列，根據(jù)分布列即可寫出數(shù)學(xué)期望；

（2）(i)計(jì)算出，推導(dǎo)出與之間的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列，求得通項(xiàng)公式即可；

(ii)根據(jù)的極限，結(jié)合每次傳球等可能傳遞的特點(diǎn)，即可進(jìn)行說明.

（1）由題意得ξ的取值為0，1，2，

P(ξ=0)，

P(ξ=1)，

P(ξ=2)，

∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P

∴E(ξ).

（2）(i)由題意可知，，

an，n≥2，

∴an()，(n≥2)，

∴an()×，

∴an.

(ii)由(i)可知，當(dāng)n→+∞時，an→，

∴當(dāng)傳球次數(shù)足夠多時，球落在甲手上的概率趨向于一個常數(shù)，

又第一次從甲開始傳球，而且每一次都是等可能地把球傳給任何一個人，

∴球落在每個人手上的概率都相等，

∴球落在乙丙丁手上的概率為(1)÷3，

∴隨著傳球的次數(shù)足夠多，球落在甲乙丙丁每個人手上的概率相等，都是.